公元263年，劉徽首創(chuàng)了用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逼近圓面積的方法，算得n值為3.14，我國(guó)稱這種方法為割圓術(shù)，直到1200年后，西方人才找到了類似的方法，后人為紀(jì)念劉徽的貢獻(xiàn)，將3.14稱為徽率．我們作單位圓的外切和內(nèi)接正3×2n邊形（n=1，2，3??），記外切正3×2n邊形周長(zhǎng)的一半為an，內(nèi)接正3×2n邊形周長(zhǎng)的一半為bn．通過(guò)計(jì)算容易得到：an=3×2ntanθn（其中θn是正3×2n邊形的一條邊所對(duì)圓心角的一半）
（1）求{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對(duì)于任意正整數(shù)n,1an、1an+1、1bn依次成等差數(shù)列；
（3）試問(wèn)對(duì)任意正整數(shù)n,bn、bn+1、an+1是否能構(gòu)成等比數(shù)列？說(shuō)明你的理由．
a
n
=
3
×
2
n
tan
θ
n
n
,
1
a
n
、
1
a
n
+
1
、
1
b
n
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題歸納出數(shù)列的通項(xiàng)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/17 8:0:9組卷：121引用：4難度：0.4
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1．我國(guó)某西部地區(qū)要進(jìn)行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中70%是沙漠．從第2年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造成綠洲，同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)綠洲面積為a1萬(wàn)平方千米，第n年綠洲面積為an萬(wàn)平方千米．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）？發(fā)布：2024/9/27 12:0:2組卷：43引用：2難度：0.4 -
2．某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）．若第1年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬(wàn)元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬(wàn)元；從第7年開(kāi)始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的50%．
現(xiàn)用an（n∈N*）表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值．
（1）求數(shù)列{an}（n∈N*）的通項(xiàng)公式an；
（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，Tn=，企業(yè)經(jīng)過(guò)成本核算，若Tn＞100萬(wàn)元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問(wèn)該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？Snn發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：142引用：4難度：0.5 -
3．我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開(kāi)始，首尾兩數(shù)為1，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．
（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：
1，3，6，10，15，…，寫出an與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．an-1（n∈N*，n≥2）
（2）已知數(shù)列{bn}滿足，設(shè)數(shù)列{cn}滿足：b1+12b2+13b3+?+1nbn=2an（n∈N*），數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，若cn=2n+1bnbn+1恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．Tn＜nn+1λ（n∈N*）發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：248引用：3難度：0.5
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