2010年競賽輔導：整數(shù)的基本知識4

一、選擇題（共3小題，每小題4分，滿分12分）

• 1．5¹⁹⁹⁹的末三位數(shù)是（　　）

  A．025

  B．125

  C．625

  D．825
  組卷：91引用：1難度：0.9

  解析

• 2．若自然數(shù)n使得作豎式加法n+（n+1）+（n+2）時均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，便稱n為“連綿數(shù)”．如因為12+13+14不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所以12是“連綿數(shù)”；但13+14+15產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所以13不是“連綿數(shù)”，則小于100的“連綿數(shù)”共有（　　）個．

  A．9

  B．11

  C．12

  D．15
  組卷：337引用：3難度：0.9

  解析

• 3．小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然數(shù)的個數(shù)為（　　）

  A．658

  B．648

  C．686

  D．688
  組卷：195引用：1難度：0.7

  解析

二、填空題（共3小題，每小題5分，滿分15分）

• 4．2^m+2006+2^m（m是正整數(shù)）的末位數(shù)字是

   

  ．
  組卷：118引用：2難度：0.1

  解析

• 5．滿足[x?y]=6，[y?z]=15的正整數(shù)組（x,y,z）共有

  組．
  組卷：71引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（共9小題，滿分93分）

• 14．如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），
  證明：（1）2a,2b,c都是整數(shù)；
  （2）a,b,c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)；
  （3）反過來，如（2）成立，是否對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax²+bx+c的值都是平方數(shù)？
  組卷：328引用：6難度：0.1

  解析

• 15．沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a,b,c,d滿足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交換b,c的位置，這稱為一次操作．
  （1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
  （2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？請說明理由．
  
  組卷：112引用：4難度：0.5

  解析