2021年四川省成都市公立名校（高中）自主招生數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共9個(gè)小題。每小題6分，共54分）

• 1．無(wú)論k取何值時(shí)，關(guān)于x,y的方程（k-1）x+（k+1）y-k+3=0均有解

  x = m

  y = n

  ，則m²⁰¹⁵+n²⁰¹⁵的值為（　?。?/h2>

  A．0

  B．-2

  C．22015-1

  D．-22015-1
  組卷：486引用：1難度：0.9

  解析

• 2．如圖，A，B是反比例函數(shù)y=

  k

  x

  （k＞0）的圖象上的兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D，AC，BD交于點(diǎn)E，則△ADE與△BCE的面積關(guān)系是（　　）

  A．S△ADE＞S△BCE	B．S△ADE=S△BCE
  C．S△ADE＜S△BCE	D．不確定
  組卷：108引用：1難度：0.6

  解析

• 3．方程

  1

  x

  -2=x²-2x有（　?。﹤€(gè)實(shí)數(shù)根．

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：214引用：1難度：0.9

  解析

• 4．某紡織廠的一個(gè)車(chē)間有技術(shù)工人m名（m∈N*），編號(hào)分別為1，2，3，…，m,有n臺(tái)（n∈N*）織布機(jī)，編號(hào)分別為1，2，3，…，n,定義記號(hào)a_ij：若第i名工人操作了第j號(hào)織布機(jī)，規(guī)定a_ij=1，否則a_ij=0，則等式a₄₁+a₄₂+a₄₃+…+a_4n=3的實(shí)際意義是（　?。?/h2>

  A．第4名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)

  B．第4名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)

  C．第3名工人操作了4臺(tái)織布機(jī)

  D．第3名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)
  組卷：70引用：1難度：0.5

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• 5．已知

  x

  =

  1

  -

  a

  2

  ，

  x

  +

  a

  -

  x

  -

  a

  +

  2

  =-2，則a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)≤1

  B．-1≤a≤1

  C．a(chǎn)≤-1

  D．-1≤a≤0
  組卷：326引用：1難度：0.9

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• 6．一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為a,a,b,另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為b,b,a,其中a＞b,若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，

  a

  b

  的值等于（　?。?/h2>

  A． 3 + 1 2

  B． 5 + 1 2

  C． 3 + 2 2

  D． 5 + 2 2
  組卷：2230引用：9難度：0.5

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三、解答題（本大題頭5個(gè)小題，72分）

• 17．如圖，已知AB為⊙O的弦，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，P為⊙O上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心、2MO為半徑作圓交⊙O于C，D兩點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)Q．
  （1）求證：點(diǎn)Q是△PAB的垂心；
  （2）判斷點(diǎn)Q是否在⊙P上，并證明你的結(jié)論．
  組卷：164引用：1難度：0.5

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• 18．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（0＜a＜1）的最小值為1，且直線y=x-

  3

  4

  與二次函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2和4．
  （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
  （2）如圖1，以點(diǎn)H（1，h）（h＞

  3

  2

  ）為圓心，

  1

  2

  為半徑作圓，拋物線y=ax²+bx+c上僅有唯一點(diǎn)J，使得過(guò)點(diǎn)J向⊙H作切線的切線段JK長(zhǎng)度最小，求h的取值范圍．
  （3）如圖2，過(guò)定點(diǎn)F（1，2）的直線y=kx-k+2（k＞0）與拋物線y=ax²+bx+c交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，與x軸交于R點(diǎn)，令θ=∠ARO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
  （i）判斷以A為圓心，AF為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并加以證明．
  （ii）cosθ為何值時(shí)，x軸上存在點(diǎn)Q，使得△ABQ為等邊三角形，并求出此時(shí)△ABQ的面積．
  
  組卷：110引用：1難度：0.2

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