2022-2023學(xué)年四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

• 1．復(fù)數(shù)z=ai+b（a,b∈R）是純虛數(shù)的充分不必要條件是（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)≠0且b=0

  B．b=0

  C．a(chǎn)=1且b=0

  D．a(chǎn)=b=0
  組卷：170引用：6難度：0.7

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• 2．已知第二象限角α的終邊與單位圓交于

  P

  （

  m

  ,

  3

  5

  ）

  ，則sin2α=（　?。?/h2>

  A． - 12 25

  B． - 24 25

  C． 12 25

  D． 24 25
  組卷：74引用：4難度：0.7

  解析

• 3．已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠BAD=60°，則

  BD

  ?

  DC

  =（　　）

  A． 3 2

  B． - 3 2

  C． 1 2

  D． - 1 2
  組卷：171引用：2難度：0.8

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• 4．已知直線l及三個(gè)互不重合的平面α，β，γ，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?/h2>

  A．若α∥β，β∥γ，則α∥γ

  B．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

  C．若α⊥γ，α∥β，則β⊥γ

  D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,則l⊥γ
  組卷：99引用：4難度：0.7

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• 5．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 1 2

  B．- 1 2

  C． 3 2

  D．- 3 2
  組卷：544引用：20難度：0.7

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• 6．歐拉公式e^ix=cosx+isinx（其中e是自然對(duì)數(shù)的底，i為虛數(shù)單位）是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，若將

  e

  2

  π

  3

  i

  所表示的復(fù)數(shù)記為z,則

  z

  =（　?。?/h2>

  A． 1 2 + 3 2 i

  B． 1 2 - 3 2 i

  C． - 1 2 + 3 2 i

  D． - 1 2 - 3 2 i
  組卷：22引用：3難度：0.8

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• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  cos

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  的部分圖象如下所示，其中

  A

  （

  π

  12

  ，

  2

  ）

  ，

  B

  （

  7

  π

  12

  ，

  0

  ）

  ，為了得到g（x）=2sin2x的圖象，需將（　?。?/h2>

  A．函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的 3 2 倍后，再向左平移 3 π 8 個(gè)單位長(zhǎng)度

  B．函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的 2 3 后，再向右平移 π 8 個(gè)單位長(zhǎng)度

  C．函數(shù)f（x）的圖象向左平移 π 4 個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的 3 2 倍

  D．函數(shù)f（x）的圖象向右平移 π 12 個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的 3 2 倍
  組卷：243引用：5難度：0.8

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四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，

  BC

  =

  2

  AD

  =

  2

  AB

  =

  2

  2

  ，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2），M、N分別是BD和BC中點(diǎn)．
  
  （1）若E是線段BN的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在三棱錐A-BMN表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持FE⊥BD，求動(dòng)點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度（可用θ表示），詳細(xì)說明理由；
  （2）若P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得

  AP

  PB

  =

  NQ

  QD

  =

  λ

  （

  λ

  ∈

  R

  ）

  ，令PQ與BD和AN所成的角分別為θ₁和θ₂，求sinθ₁+sinθ₂的取值范圍．
  組卷：85引用：4難度：0.4

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• 22．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，
  ∠BAC=30°，A₁A=A₁C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A₁B₁的中點(diǎn)．
  （Ⅰ）證明：EF⊥BC；
  （Ⅱ）求直線EF與平面A₁BC所成角的余弦值．
  （Ⅲ）求二面角A-A₁C-B的正弦值．
  組卷：1261引用：7難度：0.5

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