2023年重慶市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（2月份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={1，a²}，B={1，9，a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a組成的集合為（　?。?/h2>

  A．{-3，-1，0，3}

  B．{-3，3}

  C．{-1，0，3}

  D．{-3，0，3}
  組卷：192引用：3難度：0.9

  解析

• 2．復(fù)數(shù)

  z

  =

  1

  -

  i

  3

  1

  -

  i

  的虛部為（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  組卷：193引用：2難度：0.7

  解析

• 3．重慶南濱路鐘樓地處長江與嘉陵江交匯處，建筑通過歐式風(fēng)格將巴渝文化和開埠文化結(jié)合，展示了重慶的悠久歷史．如圖所示，可以將南濱路鐘樓看作一個長方體，四個側(cè)面各有一個大鐘，則從8：00到10：00這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫?0°的次數(shù)為（　?。?/h2>

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：53引用：1難度：0.6

  解析

• 4．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

  OA

  =（n,m），

  OB

  =（

  4

  n

  ，p），F(xiàn)（4，0），|

  AF

  |=m+1，|

  BF

  |=p+1，則m+p的最小值是（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  組卷：164引用：3難度：0.6

  解析

• 5．為幫助某貧困山區(qū)的基層村鎮(zhèn)完成脫貧任務(wù)，某單位要從5名領(lǐng)導(dǎo)和6名科員中選出4名人員去某基層村鎮(zhèn)做幫扶工作，要求選出人員中至少要有2名領(lǐng)導(dǎo)，且必須有科員參加，則不同的選法種數(shù)是（　?。?/h2>

  A．210

  B．360

  C．420

  D．720
  組卷：176引用：2難度：0.8

  解析

• 6．某鐘表的秒針端點(diǎn)A到表盤中心O的距離為5cm,秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間t=0時，點(diǎn)A與表盤上標(biāo)“12”處的點(diǎn)B重合．在秒針正常旋轉(zhuǎn)過程中，A，B兩點(diǎn)的距離d（單位：cm）關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)解析式為（　　）

  A． d = 10 sin π 60 t （ t ≥ 0 ）

  B． d = 10 cos π 60 t （ t ≥ 0 ）

  C． d = 10 sin π 60 t , 120 k ≤ t ≤ 60 + 120 k , k ∈ N - 10 sin π 60 t , 60 + 120 k ＜ t ＜ 120 （ k + 1 ） ， k ∈ N

  D． d = 10 cos π 60 t , 120 k ≤ t ≤ 30 + 120 k , k ∈ N - 10 cos π 60 t , 30 + 120 k ＜ t ＜ 90 + 120 k , k ∈ N
  組卷：132引用：4難度：0.6

  解析

• 7．已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為

  6

  ，底面邊長為

  2

  3

  ，則以P為球心，2為半徑的球面與正三棱錐表面的交線長為（　?。?/h2>

  A． （ 1 + 3 3 ） π

  B． （ 1 + 2 3 ） π

  C． （ 1 + 3 2 ） π

  D． （ 1 + 2 2 ） π
  組卷：107引用：2難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．拋物線C₁：x²=4y,雙曲線C₂：

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1且離心率e=

  5

  ，過C₂曲線下支上的一點(diǎn)

  M

  （

  3

  4

  ，

  m

  ）

  作C₁的切線，其斜率為-

  1

  2

  ．
  （1）求C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）直線l與C₂交于不同的兩點(diǎn)P，Q，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)

  N

  （

  0

  ，

  1

  2

  ）

  ，過點(diǎn)N作直線l的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點(diǎn)D得坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：305引用：5難度：0.5

  解析

• 22．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  x

  ．
  （1）求函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，并證明：函數(shù)y=f（x）在[e,+∞）上是嚴(yán)格減函數(shù)（常數(shù)e為自然對數(shù)的底）；
  （2）根據(jù)（1），判斷并證明89⁹⁹與99⁸⁹的大小關(guān)系，并請推廣至一般的結(jié)論（無須證明）；
  （3）已知a、b是正整數(shù)，a＜b,a^b=b^a，求證：a=2，b=4是滿足條件的唯一一組值．
  組卷：233引用：3難度：0.3

  解析