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試題詳情
一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數，否則稱為合數．其中，1和0既不是質數也不是合數．數學家歐幾里得在《幾何原本》中對此進行過詳細論述．一個較大自然數是質數還是合數通常用“N法”來判斷，主要分為三個步驟：第一步，找出大于N且最接近N的平方數k2；第二步，用小于k的所有質數去除N；第三步，如果這些質數都不能整除N，那么N是質數；如果這些質數中至少有一個能整除N，那么N就是合數．如判斷239是質數還是合數？第一步，239＜256=162：第二步，小于16的質數有：2、3、5、7、11、13，用2、3、5、7、11、13依次去除239；第三步，發(fā)現沒有質數能整除239，所以239是質數．
分解質因數就是把一個合數分解成若干個質數的乘積的形式，通過分解質因數可以確定該合數的約數的個數．若N=am×bn×cp…（a,b,c…是不相等的質數，m,n,p…是正整數），則合數N共有（m+1）（n+1）（p+1）…個約數．如8=23，3+1=4，則8共有4個約數；又如12=22×31，（2+1）（1+1）=6，則12共有6個約數．
請用以上方法解決下列問題：
（1）請用“N法”判斷397是質數還是合數？
（2）合數200的約數個數是多少？有和200約數個數相同的最小的合數嗎，若有，請舉例說明，若沒有，請說明理由．
【考點】質數與合數．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/12/12 8:0:1組卷：50引用：1難度：0.2
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1．一艘輪船從某江上游的A地勻速行駛到下游的B地，用了10h,從B地勻速行駛返回A地用時12h至13h之間（不包含12h至13h），這段水流速度為3km/h,輪船在靜水里的往返速度v（v＞3）不變
（1）求v的取值范圍；
（2）若v是質數（大于1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除）求v的值．發(fā)布：2024/12/5 8:0:1組卷：177難度：0.1 -
2．已知a為整數，|4a2-12a-27|是質數，求a的值．
發(fā)布：2024/12/23 8:0:2組卷：27引用：0難度：0.7 -
3．對于正整數a,如果存在正整數b,c使得a=bc,則稱b,c為a的約數．比如36=4×9，所以4和9是36的約數．為了找出36的所有約數，我們可以把36繼續(xù)分解，即36=2×2×3×3，進一步寫成36=22×32，所以36的約數就可以表示成2α?3β的形式，其中α可取0、1、2，β可取0、1、2；這樣我們就很快地得出36共有9（9=3×3）個約數，分別為1、3、9、2、6、18、4、12、36．以上方法我們稱之為是對36進行“分解質因數”．其實不難發(fā)現，對于任意正整數m都可以對其進行分解質因數，即m=P1
P2α1…Pnα2，其中P1，P2，…，Pn是互不相等的質數，那么m的所有約數n就可表示為n=p1αnp2β1…pnβ2（0≤β1≤α1，0≤β2≤α2，…0≤βn≤αn且β1，β2…，βn都是整數），進而不難得出m共有（a1+1）（a2+1）…（an+1）個約數．特別的，如果m=n2k（n是正整數，k為自然數），則稱m為完全平方數．βn
（1）根據以上閱讀材料，求出3000共有多少個約數？
（2）請說明對任意的一個完全平方數的約數個數一定是奇數．發(fā)布：2024/11/19 8:0:1組卷：119難度：0.3
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