時代數(shù)學(xué)報第三屆數(shù)學(xué)文化節(jié)九年級復(fù)賽試卷

一、選擇題（共1小題，每小題7分，滿分7分）

• 1．運算與推理以下是甲、乙兩人得到

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  的推理過程：（甲）因為

  14

  ＞

  9

  =3，

  6

  ＞

  4

  =2，所以

  14

  +

  6

  ＞3+2=5．又

  14

  +

  6

  =

  20

  ＜

  25

  =5，所以

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  ．（乙）作一個直角三角形，兩直角邊長分別為

  14

  ，

  6

  ．利用勾股定理得斜邊長的平方為

  20

  ，所以

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  ．對于兩個人的推理，下列說法中正確的是（　?。?/h2>

  A．兩人都正確	B．兩人都錯誤
  C．甲正確，乙錯誤	D．甲錯誤，乙正確
  組卷：166引用：8難度：0.7

  解析

二、填空題（共12小題，每小題7分，滿分84分）

• 2．在數(shù)學(xué)文化節(jié)第一輪活動中，我們以探討一個趣題的方式紀念了數(shù)學(xué)大師歐拉誕辰300周年．著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯說過：“讀讀歐拉，他是我們所有人的導(dǎo)師．”是?。W拉在數(shù)學(xué)上的貢獻實在太多了，即使在初等數(shù)學(xué)中也到處可見他的身影．我們再來看看歐拉研究過的“36軍官問題”：
  從6支部隊中各選出6名不同軍銜的軍官，將這36名軍官排成一個6行6列的方陣，要求每行每列的6個軍官分別來自不同的部隊，并具有不同的軍銜．用大寫字母A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示6支不同的部隊，用小寫字母a,b,c,d,e,f分別表示6種不同的軍銜，于是問題轉(zhuǎn)化為：在6×6的方格陣中，每個方格分別填入一個大寫字母和一個小寫字母，使每行和每列中的大小寫字母只能各出現(xiàn)一次（通常稱這種方陣為歐拉方陣或正交拉丁方）．歐拉攪盡腦汁，也沒能排出符合要求的6×6方陣，他猜想并不存在這樣的6×6方陣．100多年以后，才有人證明了歐拉的這個猜想是正確的．
  于是歐拉繼而探究了其他情形，例如，他分別作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并證明了當n除以4的余數(shù)不等于2時，n×n正交拉丁方是存在的．
  正交拉丁方在藥品配方試驗設(shè)計等方面有著廣泛應(yīng)用．現(xiàn)在流行的“數(shù)獨”游戲和比賽，就是發(fā)源于拉丁方問題呢！
  如下是一個5×5正交拉丁方，請將剩余的字母填上

  ．
  

  Aa	Be	Cd	Dc	Eb
  Ec	Ab	Ba	Ce	Dd
  De	Ed	Ac	Bb	Ca
  Cb	Da	Ee
  Bd	Cc	Db
  組卷：64引用：1難度：0.9

  解析

• 3．中國剩余定理，此定理源于我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，其中記載了這樣一個“物不知數(shù)”的問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這個問題的意思是：有一個正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．此問題及其解題原理在世界上頗負盛名，中外數(shù)學(xué)家們稱之為“孫子定理”、“中國剩余定理”或“大衍求一術(shù)”等．對以上“物不知數(shù)”的問題，求得滿足條件的最小正整數(shù)為

  ，而滿足條件的所有正整數(shù)可用代數(shù)式表示為

  ．
  組卷：87引用：1難度：0.9

  解析

• 4．如圖，在正方形PQRS中，M、N分別為QR、RS上的點，且∠MPN=30°．若△PMN為等腰三角形，且面積為1，則正方形PQRS的面積為

   

  ．
  組卷：195引用：2難度：0.9

  解析

• 5．設(shè)一元二次方程x²+px+q=0（p,q為常數(shù)）的兩根為x₁，x₂，則x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），即x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂，比較兩邊x的同次冪的系數(shù)，得

  x 1 + x 2 = - p ①

  x 1 x 2 = q ②

  這兩個式子揭示了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，且關(guān)系式①②中，x₁，x₂的地位是對等的（即具有對稱性，如將x₁，x₂互換，原關(guān)系式不變）．類似地，設(shè)一元三次方程x³+px²+qx+r=0（p,q,r為常數(shù)）的3個根為x₁，x₂，x₃，則x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．由此可得方程x³+px²+qx+r=0的根x₁，x₂，x₃與系數(shù)p,q,r之間存在一組對稱關(guān)系式：

  x 1 + x 2 + x 3 = （ ?? ）

  x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = （ ?? ）

  x 1 x 2 x 3 = （ ?? ）

  ，

  ，

  ．
  組卷：45引用：3難度：0.7

  解析

• 6．如圖，有兩個轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤都分為3個相同大小的扇形區(qū)域，分別用序號1，2，3標出．現(xiàn)轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，等轉(zhuǎn)盤停止運動時，指針指向每個區(qū)域的可能性相等（不計指針與兩個區(qū)域交線重合的情形），將所得區(qū)域的序號相乘，比較所得積為奇數(shù)或偶數(shù)的概率大小．有人說，因為兩個轉(zhuǎn)盤中奇數(shù)序號都比偶數(shù)序號多，顯然所得積為奇數(shù)概率大，你同意他的看法嗎？

   

  （填“同意”、“不同意”或“概率大小不確定”）
  
  組卷：27引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（共7小題，滿分59分）

• 19．變與不變將一長方形紙片折出如圖所示的圖形，其中∠AEB=30°，BG：GH：HC=2：4：1，如果DH=3cm,求AE+EF的長．
  組卷：42引用：1難度：0.3

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• 20．畫龍點睛在本屆數(shù)學(xué)文化節(jié)第一輪活動書面問題中介紹了數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言、圖形語言等．我們來看一道用文字語言表述的數(shù)學(xué)問題：“一個正數(shù)的平方與這個數(shù)的2倍的和等于24，求這個數(shù)．”此題用符號語言簡潔地表示為（設(shè)該數(shù)為x）：
  “解方程

  （x＞0）．”
  如圖，也可用圖形語言直觀地表示為如下的問題：“已知圖形的總面積為24，求x.”
  現(xiàn)在來看看如何利用圖形幫助我們理解方程的解法：
  解：由x²+2x=24，配方得x²+2x+1=25．（*）
  所以（x+1）²=25．（**）
  因為x＞0，所以x+1=5，x=4．
  請在所給圖中添上輔助線，表示（*）和（**）式中配方的幾何意義．
  組卷：158引用：1難度：0.5

  解析